Производные
Таблица основных производных. Здесь $C$ — константа, $\alpha$ — любое число, $a>0,\ a\ne1$.
Правило знака: у функций на «ко-» — $\cos x$, $\ctg x$, $\arccos x$, $\arcctg x$ — производная со знаком минус. Гиперболический косинус — исключение: $(\ch x)'=\sh x$, без минуса.
Гиперболические функции: $\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\th x=\frac{\sh x}{\ch x}$, $\cth x=\frac{\ch x}{\sh x}$. Основное тождество: $\ch^2x-\sh^2x=1$.
Правила дифференцирования
Производная сложной функции — производная внешней, умноженная на производную внутренней:
$$\big(f(g(x))\big)'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$$Пример: $(\sin x^2)'=\cos x^2\cdot 2x$, $\ (e^{3x})'=3e^{3x}$.
Скорость роста
Запись $f\ll g$ означает, что $g$ растёт быстрее: $\frac{f}{g}\to0$. При $x\to+\infty$ (или $n\to\infty$):
$$\log_a x\ \ll\ x^{\varepsilon}\ \ll\ x^{k}\ \ll\ a^{x}\ \ll\ x!\ \ll\ x^{x}$$Здесь $\varepsilon>0$ сколь угодно мало, $k$ сколь угодно велико, $a>1$.
- Любая степень логарифма медленнее любой положительной степени: $\frac{\ln^{100}x}{x^{0{,}01}}\to0$.
- Любая степень медленнее любой показательной функции с основанием больше 1: $\frac{n^{1000}}{1{,}001^n}\to0$.
- Факториал обгоняет любую показательную функцию, а $n^n$ обгоняет факториал.
- Среди степеней быстрее та, где больше показатель: $n^2\ll n^3$. Среди показательных — где больше основание: $2^n\ll 3^n$.
- Основание логарифма не влияет на порядок роста: $\log_2 n=\frac{\ln n}{\ln 2}$ отличается от $\ln n$ в постоянное число раз.
- В сумме решает самое быстрое слагаемое: $n^3+2^n\sim 2^n$, $\ n^2+1000n\sim n^2$.
Как применять: в дроби найдите самое быстрое слагаемое в числителе и в знаменателе и разделите на него всё выражение.
Устные пределы
Дробь из многочленов на бесконечности
$$\lim_{x\to\infty}\frac{a_kx^k+\ldots}{b_mx^m+\ldots}=\begin{cases}\dfrac{a_k}{b_m}, & k=m\\[6pt] 0, & k\lt m\\[6pt] \infty, & k\gt m\end{cases}$$Пример: $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2+n}{5n^2-1}=\frac35$, потому что степени равны.
Табличные пределы
Приёмы
- Ограниченная величина, умноженная на бесконечно малую, — бесконечно малая: $\frac{\sin n}{n}\to0$, $\ x\sin\frac1x\to0$ при $x\to0$.
- Неопределённость $\frac00$ у многочленов — разложить на множители и сократить: $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4$.
- Разность корней — домножить на сопряжённое: $\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$.
- Сумма первых $n$ натуральных чисел: $1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
Неопределённости, которые нельзя посчитать подстановкой: $\frac00,\ \frac\infty\infty,\ 0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ 1^\infty,\ 0^0,\ \infty^0$. А вот $\frac{1}{\infty}=0$ и $\infty+\infty=\infty$ неопределённостями не являются.
Замечательные пределы
Первый
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$$Второй
$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e,\qquad \lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$$Обобщение: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab}$.
Эквивалентности при $x\to0$
Следствия замечательных пределов. Вместо $x$ может стоять любая бесконечно малая: $\sin 5x\sim 5x$, $\ \ln(1+x^2)\sim x^2$.
В произведении и частном бесконечно малые можно заменять эквивалентными: $\frac{\sin 3x}{\sin 2x}\sim\frac{3x}{2x}=\frac32$. В сумме и разности так делать нельзя.
Неопределённость $1^\infty$
Если $f\to1$ и $g\to\infty$, то
$$\lim f^{\,g}=e^{\lim g\,(f-1)}$$Пример: $\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}=e^{\lim\frac{\cos x-1}{x^2}}=e^{-1/2}$.
Ловушки: $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$, потому что $x$ стремится к бесконечности, а не к нулю. И $\left(1+\frac1n\right)^{n^2}\to\infty$: показатель растёт быстрее, чем нужно для числа $e$.
Единичная окружность
Нажмите на точку, чтобы увидеть значения функций. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки, а точка имеет координаты $(\cos\alpha;\ \sin\alpha)$.
Первая четверть
| $\alpha$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $1$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tg\alpha$ | $0$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ | — |
| $\ctg\alpha$ | — | $\sqrt3$ | $1$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $0$ |
Синус растёт по ряду $\frac{\sqrt0}{2},\frac{\sqrt1}{2},\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt3}{2},\frac{\sqrt4}{2}$, косинус идёт тем же рядом в обратную сторону.
Знаки по четвертям
| Четверть | $\sin$ | $\cos$ | $\tg,\ \ctg$ |
|---|---|---|---|
| I | + | + | + |
| II | + | − | − |
| III | − | − | + |
| IV | − | + | − |
Тождества и перевод углов
Чётность: $\cos(-x)=\cos x$, остальные три функции нечётные, например $\sin(-x)=-\sin x$.
Формулы приведения
Для углов $\pi\pm x$ и $2\pi\pm x$ функция не меняется, для $\frac\pi2\pm x$ и $\frac{3\pi}2\pm x$ меняется на парную: $\sin\leftrightarrow\cos$, $\tg\leftrightarrow\ctg$. Знак ставится тот, который был бы у исходной функции, если считать $x$ острым углом.
Пример: $\cos\left(\frac\pi2+x\right)$. Косинус меняется на синус, угол лежит во II четверти, косинус там отрицателен, значит $\cos\left(\frac\pi2+x\right)=-\sin x$.
Обратные функции
| Функция | Область значений |
|---|---|
| $\arcsin x$ | $\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\arccos x$ | $[0;\ \pi]$ |
| $\arctg x$ | $\left(-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right)$ |
| $\arcctg x$ | $(0;\ \pi)$ |
$\arcsin(-x)=-\arcsin x$, $\ \arctg(-x)=-\arctg x$, но $\arccos(-x)=\pi-\arccos x$.